1.1.2 线性表示、线性相关与线性无关#

线性表示#

IMPORTANT

  假设存在线性空间 $V$，设 $\beta \in V$，若存在 $V$ 中一组向量 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$，及一组数 $\{k_1, k_2, ..., k_n \in F\}$，使得：

$$\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n$$

称向量 $\beta$ 能被向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 线性表示或线性表出。或称 $\beta$ 可以表示为 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 的线性组合。

线性相关#

IMPORTANT

  假设存在线性空间 $V$，设 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 是线性空间 $V$ 中的一组向量，若存在一组不全为 0 的数 $\{k_1, k_2, ..., k_n \in F\}$，使得：

$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0$$

则称向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 线性相关。 :::warning 希望不要忘记这里及下面的 0 都应该线性空间 $V$ 中的零元。 :::

NOTE

1. 线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表出。

  假设 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 是一组线性相关的向量，根据线性相关定义，存在一组不全为 0 的数 $\{k_1, k_2, ..., k_n \in F\}$，使得：

不妨假设 $k_j \in \{k_1, k_2, ..., k_n\} \not = 0, j \in \{1, 2, ..., n\}$，则有：

根据线性表出的定义可知，存在至少一个向量 $\alpha_j$ 可以被其他向量线性表出。

  假设 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 是一组线性相关的向量，根据线性相关定义，存在一组不全为 0 的数 $\{k_1, k_2, ..., k_n \in F\}$，使得：

现向向量组中增加一个新的向量 $\beta$，令 $k_{\beta} = 0$，于是有：

由于 $\{k_1, k_2, ..., k_n\}$ 不全为 0，故 $\{k_1, k_2, ..., k_n\} \cup \{k_{\beta}\}$ 不全为 0。根据线性相关定义可知，向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} \cup \{\beta\}$ 仍然线性相关。

线性无关#

IMPORTANT

  若：

$$\begin{align*} \sum_{i = 1}^{n} k_i\alpha_i = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0 \\ \Leftrightarrow k_i = 0 (i \in \{1, 2, ..., n\}) \end{align*}$$

则称向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 线性无关。

NOTE

1. 线性无关的向量组中任何一个向量都不能被其他的向量线性表出。

  不妨用反证法来证明。对于线性无关的向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$，假设 $\exist \alpha_j \in \{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$，使得 $\alpha_j$ 可以被向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} - \{\alpha_j\}$ 中的向量线性表出，即：

从而有：

而 $k^{'}_1, k^{'}_2, ..., k^{'}_{j-1}, 1, k^{'}_{j+1}, ..., k^{'}_n$ 显然不全为 0，于是根据线性相关定义，向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 线性相关，与假设矛盾。

故线性无关的向量组中任何一个向量都不能被其他向量线性表示。

NOTE

2. 从线性无关的向量组中去除任何一个向量，剩余的向量仍然线性无关。

  过于简单，不做证明。