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线性空间——线性空间的概念

25 min read高等工程数学#矩阵分析#数域#线性空间

1.1.1 线性空间的概念

数域

IMPORTANT

设 FF 为非空数集，且 0,1∈F0,1 \in F；设 ∀a,b∈F\forall a,b \in F（b≠0b \ne 0），且满足：

{a+b∈Fa−b∈Fa⋅b∈Fa/b∈F\begin{cases} & a+b \in F \\ & a-b \in F \\ & a\cdot b \in F \\ & a/b \in F \end{cases}

即，对加减乘除运算都封闭。则称 FF 为数域（FieldField）。

线性空间

定义

IMPORTANT

设 FF 是一个数域，VV 是一个非空集合，且满足：

  1. ∀α,β∈V\forall \alpha, \beta \in V，定义加法运算（++）有：

    α+β∈V\alpha + \beta \in V

    即，对加法运算封闭；

  2. ∀α∈V,k∈F\forall \alpha \in V, k \in F，定义数乘运算（⋅\cdot）有：

    k⋅α∈Vk \cdot \alpha \in V

    即，对数乘运算封闭。

其中加法和数乘运算需满足：

  • 加法运算需满足：
    1. 交换律
    ∀α,β∈V,α+β=β+α\begin{gather*} \forall \alpha, \beta \in V, \\ \alpha + \beta = \beta + \alpha \end{gather*}
    1. 结合律
    ∀α,β,γ∈V,(α+β)+γ=α+(β+γ)\begin{gather*} \forall \alpha, \beta, \gamma \in V, \\ (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma) \end{gather*}
    1. 存在零元
    ∃0∈V,∀α∈V,α+0=α\begin{gather*} \exist \textbf{0} \in V, \forall \alpha \in V, \\ \alpha + \textbf{0} = \alpha \end{gather*}
    CAUTION

    零元 0\textbf{0} 不一定是自然数 0.

    1. 存在负元
    ∀α∈V,∃β∈V,α+β=0β=−α\begin{gather*} \forall \alpha \in V, \exist \beta \in V, \\ \alpha + \beta = \textbf{0} \\ \beta = -\alpha \end{gather*}
    CAUTION

    此处 α+β=0\alpha + \beta = \textbf{0} 同样是零元 0\textbf{0}，而非自然数 0.

  • 数乘运算需满足：
    1. 分配律（一）
    ∀α,β∈V,∀k∈F,k⋅(α+β)=k⋅α+k⋅β\begin{gather*} \forall \alpha, \beta \in V, \forall k \in F, \\ k\cdot (\alpha + \beta) = k\cdot \alpha + k\cdot \beta \end{gather*}
    1. 分配律（二）
    ∀α∈V,∀k,l∈F,(k+l)⋅α=k⋅α+l⋅α\begin{gather*} \forall \alpha \in V, \forall k,l \in F, \\ (k + l)\cdot \alpha = k \cdot \alpha + l\cdot \alpha \end{gather*}
    1. 结合律
    ∀α∈V,∀k,l∈F,(kl)⋅α=k⋅(l⋅α)\begin{gather*} \forall \alpha \in V, \forall k,l \in F, \\ (kl)\cdot \alpha = k \cdot (l\cdot \alpha) \end{gather*}
    1. 存在单位元
    ∃1∈F,∀α∈V,1⋅α=α\begin{gather*} \exist \textbf{1} \in F, \forall \alpha \in V, \\ \textbf{1} \cdot \alpha = \alpha \end{gather*}

满足以上性质的 (V,F,+,⋅)(V, F, +, \cdot) 称为数域 FF 上的线性空间或向量空间。简记为 VV 或 V(F)V(F)，其中，VV 是线性空间，而 VV 中的元素称为向量。

TIP

判断某个集合是否构成线性空间的步骤：

  1. 判断该集合是否为非空集合；
  2. 判断该集合对加法和数乘运算是否封闭；
  3. 验证其加法和数乘运算是否满足上诉八条性质；
  4. 若均满足，则该集合构成线性空间；否则不构成。

不难验证，V(R)V(\mathbb{R})、V(C)V(\mathbb{C}) 均构成线性空间，分别称实线性空间和复线性空间。

常见的线性空间

1. 数值向量空间

IMPORTANT

给定数域 FF 和正整数 nn，可以构造线性空间 (Fn,F,+,⋅)(F^n, F, +, \cdot)，称为数值向量空间，其中 +,⋅+,\cdot 分别表示向量加法和数乘运算.

已知 FF 是数域，则 FnF^n 为非空集合。下面证明 FnF^n 对加法和数乘运算封闭：对 ∀α,β∈Fn\forall \alpha, \beta \in F^n，其中，

α=[α1α2⋮αn],β=[β1β2⋮βn]\alpha = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}, \beta = \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n \end{bmatrix}

由于数域 FF 对加法封闭，且 ∀αi,βi∈F\forall \alpha_i, \beta_i \in F， 则 αi+βi∈F\alpha_i + \beta_i \in F。于是，

α+β=[α1+β1α2+β2⋮αn+βn]∈Fn\alpha + \beta = \begin{bmatrix} \alpha_1 + \beta_1 \\ \alpha_2 + \beta_2 \\ \vdots \\ \alpha_n + \beta_n \end{bmatrix} \in F^n

即，FnF^n 对加法运算封闭；同理可证，FnF^n 对数乘运算封闭。

此外需要验证 FnF^n 在加法和数乘运算满足八大性质。由于 FF 是数域，根据数域自身的运算性质，不难验证 FnF^n 在标准运算下能够满足上诉条件，这里不再赘述。因此 FnF^n 是在数域 FF 上的线性空间。

NOTE

(Cn,R,+,⋅)(\mathbb{C}^n, \mathbb{R}, +, \cdot) 构成线性空间，而 (Rn,C,+,⋅)(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}, +, \cdot) 不构成线性空间。

前者不难验证，对于后者，考虑数乘运算不封闭。

取 α∈Rn,β∈C\alpha \in \mathbb{R}^n, \beta \in \mathbb{C}，其中，

α=[α1α2⋮αn],i∈{1,2,..,n},αi∈R,αi≢0β=a+bi^,a,b∈R,b≠0\begin{gather*} \alpha = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}, i \in \{1, 2, .., n\}, \alpha_i \in \mathbb{R}, \alpha_i \not\equiv 0 \\ \beta = a + b\hat{i}, \quad a,b \in \mathbb{R}, b \ne 0 \end{gather*}

则有，

β⋅α=(a+bi^)⋅[α1α2⋮αn]=[(a+bi^)⋅α1(a+bi^)⋅α2⋮(a+bi^)⋅αn]=[C1C2⋮Cn]\begin{gather*} \beta \cdot \alpha = (a + b\hat{i}) \cdot \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} (a + b\hat{i}) \cdot \alpha_1 \\ (a + b\hat{i}) \cdot \alpha_2 \\ \vdots \\ (a + b\hat{i}) \cdot \alpha_n \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \\ \vdots \\ C_n \end{bmatrix} \end{gather*}

其中，由于 b≠0,αi≢0b \ne 0, \alpha_i \not\equiv 0，故 ∃j∈{1,2,..,n},αj≠0\exist j \in \{1, 2, .., n\}, \alpha_j \ne 0，于是，

Cj=(a+bi^)⋅αj∉RC_j = (a + b\hat{i}) \cdot \alpha_j \not\in \mathbb{R}

故 β⋅α∉Rn\beta \cdot \alpha \notin \mathbb{R}^n。即，(Rn,C,+,⋅)(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}, +, \cdot) 对数乘运算不封闭，不构成线性空间。

TIP

若不作特殊说明，(Rn,R,+,⋅)(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}, +, \cdot) 简写为 Rn\mathbb{R}^n，(Cn,C,+,⋅)(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}, +, \cdot) 简写为 Cn\mathbb{C}^n。此外，由上可知，Rn\mathbb{R}^n 在数域 R\mathbb{R} 上构成线性空间，而 Cn\mathbb{C}^n 在数域 R\mathbb{R} 和 C\mathbb{C} 均构成线性空间。

2. 数值矩阵空间

IMPORTANT

给定数域 FF 和正整数 m,nm,n，可以构造线性空间 (Fm+n,F,+,⋅)(F^{m+n}, F, +, \cdot)，其中 +,⋅+,\cdot 分别表示矩阵的加法和数乘运算.

Fm+nF^{m+n} 关于加法和数乘运算的封闭性很容易证明，同样 Fm+nF^{m+n} 基于数域 FF 的运算性质可以满足加法和数乘运算的八大条件。

NOTE

(Cm+n,R,+,⋅)(\mathbb{C}^{m+n}, \mathbb{R}, +, \cdot) 构成线性空间，而 (Rm+n,C,+,⋅)(\mathbb{R}^{m+n}, \mathbb{C}, +, \cdot) 不构成.

前者不难证明，对于后者，证明思路与 (Rn,C,+,⋅)(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}, +, \cdot) 的证明类似——证明数乘运算不封闭，这里不再赘述。

3. 实系数多项式空间

IMPORTANT

定义：

Pn(t)={次数不超过 n 的实系数多项式}P_n(t) = \{\text{次数不超过}\ n \ \text{的实系数多项式}\}

则给定正整数 nn 与实数域 R\mathbb{R}，可以构造线性空间 (Pn(t),R,+,⋅)(P_n(t), \mathbb{R}, +, \cdot)，其中，+,⋅+,\cdot 分别表示多项式加法和实数与多项式数乘.

NOTE

给定正实数 R+={t∈R∣t>0}\mathbb{R}_+ = \{t \in \mathbb{R} | t > 0\}，+,⋅+,\cdot 分别表示实数的加法与数乘运算，证明 (R+,R,+,⋅)(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}, +, \cdot) 不构成线性空间.

证明：

∀α∈R+\forall \alpha \in \mathbb{R}_+，∃β∈R<0\exist \beta \in \mathbb{R} < 0，则 β⋅α<0∉R+\beta \cdot \alpha < 0 \not\in \mathbb{R}_+，即 R+\mathbb{R}_+ 对数乘运算不封闭，(R+,R,+,⋅)(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}, +, \cdot) 不构成线性空间。

若定义新的加法（⊕\oplus）和数乘（∘\circ）运算：

⊕:∀α,β∈V,α⊕β=αβ∘:∀α∈R+,∀k∈R,k∘α=αk\begin{align*} & \oplus: \forall \alpha,\beta \in V, \alpha \oplus \beta = \alpha \beta \\ & \circ: \forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \forall k \in \mathbb{R}, k \circ \alpha = \alpha^k \end{align*}

证明 (R+,R,⊕,∘)(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}, \oplus, \circ) 构成线性空间.

证明：

首先证明 R+\mathbb{R}_+ 对 ⊕\oplus 运算封闭。∀α,β∈R+\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}_+，则 α⊕β=αβ>0∈R+\alpha \oplus \beta = \alpha \beta > 0 \in \mathbb{R}_+，得证；再证 R+\mathbb{R}_+ 对 ∘\circ 运算封闭。∀α∈R+,∀β∈R\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \forall \beta \in \mathbb{R}，则 β∘α=αβ>0∈R+\beta \circ \alpha = \alpha^{\beta} > 0 \in \mathbb{R}_+，得证。

接下来验证 ⊕\oplus 与 ∘\circ 运算是否满足线性空间八大性质。

对 ⊕\oplus 运算：

  1. 交换律：∀α,β∈R+\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}_+ 有 α⊕β=αβ=βα=β⊕α\alpha \oplus \beta = \alpha \beta = \beta \alpha = \beta \oplus \alpha，显然，⊕\oplus 满足交换律；
  2. 结合律：∀α,βγ∈R+\forall \alpha, \beta \gamma \in \mathbb{R}_+ 有 (α⊕β)⊕γ=(αβ)⊕γ=(αβ)γ=α(βγ)=α(β⊕γ)=α⊕(β⊕γ)(\alpha \oplus \beta) \oplus \gamma = (\alpha \beta) \oplus \gamma = (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma) = \alpha (\beta \oplus \gamma) = \alpha \oplus (\beta \oplus \gamma) 显然，⊕\oplus 满足结合律；
  3. 存在零元 0\textbf{0}：设存在零元 β=0\beta = \textbf{0}，则有 ∀α∈R+,α+β=αβ=α0=α\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \alpha + \beta = \alpha \beta = \alpha \textbf{0} = \alpha，于是 β=0=1\beta = \textbf{0} = 1；
  4. 存在负元：设存在负元 β\beta，则有 ∀α∈R+,α+β=αβ=0=1\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \alpha + \beta = \alpha \beta = \textbf{0} = 1，于是 β=α−1\beta = \alpha^{-1}.

对于 ∘\circ 运算：

  1. 分配律（一）：∀α,β∈R+,∀k∈R\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}_+, \forall k \in \mathbb{R}，则有： k∘(α⊕β)=k∘(αβ)=(αβ)k=αkβk=(k∘α)(k∘β)=k∘α⊕k∘βk \circ (\alpha \oplus \beta) = k \circ (\alpha \beta) = (\alpha \beta)^k = \alpha^k \beta^k = (k \circ \alpha)(k \circ \beta) = k \circ \alpha \oplus k \circ \beta 显然，circcirc 运算满足分配律（一）；
  2. 分配律（二）：∀α∈R+,∀k,l∈R\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \forall k, l \in \mathbb{R}，则有： (k+l)∘α=(kl)∘α=αkl=αkαl=(k∘α)(l∘α)=k∘α+l∘α(k + l)\circ \alpha = (kl)\circ \alpha = \alpha^{kl} = \alpha^k \alpha^l = (k \circ \alpha)(l \circ \alpha) = k \circ \alpha + l \circ \alpha 显然，∘\circ 运算满足分配律（二）；
    WARNING

    注意，这里 k,lk,l 之间并不适用 ⊕\oplus 运算。

  3. 结合律：∀α∈R+,∀k,l∈R\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \forall k, l \in \mathbb{R}，则有： (kl)∘α=αkl=(αl)k=k(l∘α)(kl)\circ \alpha = \alpha^{kl} = (\alpha^l)^k = k(l \circ \alpha) 显然，∘\circ 运算满足结合律；
    WARNING

    注意，这里 k,lk,l 之间并不适用 ∘\circ 运算。

  4. 存在单位元：设 ∃1=β∈R\exist \textbf{1} = \beta \in \mathbb{R}，则有 ∀α∈R+,1∘α=β∘α=αβ=α\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \textbf{1} \circ \alpha = \beta \circ \alpha = \alpha^{\beta} = \alpha，则 1=β=1\textbf{1} = \beta = 1。显然，circcirc 运算存在单位元。

综上可证，在新的加法（⊕\oplus）和数乘（∘\circ）运算下，(R+,R,⊕,∘)(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}, \oplus, \circ) 构成线性空间。

4. 矩阵的零空间与值空间

IMPORTANT

给定数域 FF，已知矩阵 A∈Fm×n,b∈FmA \in F^{m \times n}, b \in F^m，定义：

N(A)={x∈Fn:Ax=b}R(A)={y=Ax:x∈Fn}\begin{align*} \mathscr{N}(A) = \{x \in F^n: Ax = b\} \\ \mathscr{R}(A) = \{y = Ax: x \in F^n\} \end{align*}

按照向量加法和数乘运算，讨论 (N(A),F,+,⋅)(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot) 与 (R(A),F,+,⋅)(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot) 是否构成线性空间。

对于 (N(A),F,+,⋅)(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot)，分两种情况讨论：

  1. 当 b≠0b \not = 0 时，∀α,β∈N(A)\forall \alpha,\beta \in \mathscr{N}(A)，则有： Aα=bAβ=b\begin{align*} A\alpha = b \\ A\beta = b \end{align*} 于是验证其对加法运算的封闭性。由于 Aα+Aβ=A(α+β)=2bA\alpha + A\beta = A(\alpha + \beta) = 2b，而 b≠0b \not = 0，可知 α+β∉N(A)\alpha + \beta \not \in \mathscr{N}(A)，故 (N(A),F,+,⋅)(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot) 对加法不封闭，不构成线性空间；
  2. 当 b=0b = 0 时，不难验证，N(A)\mathscr{N}(A) 对加法运算是封闭的，同样不难验证对数乘运算封闭及线性空间八大性质，此时 (N(A),F,+,⋅)(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot) 构成线性空间。

对于 (R(A),F,+,⋅)(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot)，首先验证其对加法运算是否封闭，∀α,β∈R(A)\forall \alpha, \beta \in \mathscr{R}(A)，则有：

α=Axαβ=Axβ\begin{align*} \alpha = Ax_{\alpha} \\ \beta = Ax_{\beta} \end{align*}

于是，α+β=A(xα+xβ)\alpha + \beta = A(x_{\alpha} + x_{\beta})，而 xα+xβ∈Fnx_{\alpha} + x_{\beta} \in F_n，于是 α+β∈R(A)\alpha + \beta \in \mathscr{R}(A)。故 (R(A),F,+,⋅)(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot) 对加法运算封闭；再验证是否对数乘运算封闭，∀α∈R(A),∀k∈F\forall \alpha \in \mathscr{R}(A), \forall k \in F，于是：

kα=k(Axα)=A(kxα)\begin{align*} k \alpha =k (Ax_{\alpha}) = A(k x_{\alpha}) \end{align*}

而，kxα∈Fnk x_{\alpha} \in F^n，于是 kα∈R(A)k\alpha \in \mathscr{R}(A)。因此(R(A),F,+,⋅)(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot) 对数乘运算封闭。对八大性质的讨论就不展开了，可以证明的是 (R(A),F,+,⋅)(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot) 构成线性空间。

TIP

b=0b = 0 时，(N(A),F,+,⋅)(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot) 构成线性空间，称 N(A)\mathscr{N}(A) 是矩阵 AA 在数域 FF 上的零空间；(R(A),F,+,⋅)(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot) 构成线性空间，称 R(A)\mathscr{R}(A) 是矩阵 AA 在数域 FF 上的值空间

5. 三维欧氏空间中的平面与直线

IMPORTANT

三维欧氏空间 R3\mathbb{R}^3 中任意平面 π\pi 与直线 ll ，按照 R\mathbb{R} 中向量加法与数乘运算，则当且仅当平面 π\pi 与直线 ll 经过原点时，(π,R,+,⋅)(\pi, \mathbb{R}, +, \cdot) 与 (l,R,+,⋅)(l, \mathbb{R}, +, \cdot) 才构成线性空间。

这里只证明当平面 π\pi 与直线 ll 不经过原点时，(π,R,+,⋅)(\pi, \mathbb{R}, +, \cdot) 与 (l,R,+,⋅)(l, \mathbb{R}, +, \cdot) 不构成线性空间。

证明：

设平面 π:αx+βy+γz=d,d≠0\pi: \alpha x + \beta y + \gamma z = d, d \not = 0。对 ∀m(x1,y1,z1)∈π\forall m(x_1, y_1, z_1) \in \pi，有:

αx1+βy1+γz1=d\alpha x_1 + \beta y_1 + \gamma z_1 = d

由线性空间八大性质要求，对于加法运算存在零元 0\textbf{0}，不妨设 0=(x0,y0,z0)\textbf{0} = (x_0, y_0, z_0)，于是由 m+0=mm + \textbf{0} = m 有：

α(x1+x0)+β(y1+y0)+γ(z1+z0)=αx1+βy1+γz1=d\alpha (x_1 + x_0) + \beta (y_1 + y_0) + \gamma (z_1 + z_0) = \alpha x_1 + \beta y_1 + \gamma z_1 = d

于是，0=(x0,y0,z0)=(0,0,0)\textbf{0} = (x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)。而，

αx0+βy0+γz0=0≠d\alpha x_0 + \beta y_0 + \gamma z_0 = 0 \not = d

即，0∉π\textbf{0} \not \in \pi，平面 π\pi 不存在零元，故不构成线性空间。

对于直线 ll 的证明思路类似，这里不再讨论。

TIP

证明一个集合不构成线性空间往往可以从证明是否存在零元、负元和单位元入手。

NOTE

设 π1,π2\pi_1, \pi_2 是三维欧氏空间 R3\mathbb{R}^3 的两个任意平面，则 π1∪π2\pi_1 \cup \pi_2 不构成线性空间，π1∩π2\pi_1 \cap \pi_2 构成线性空间，这里不作证明.

线性空间的性质

设 VV 在数域 R\mathbb{R} 上构成线性空间，则：

  1. 零元存在且唯一 不妨假设 VV 中零元不唯一，则 ∃01,02∈V,01≠02\exist \textbf{0}_1, \textbf{0}_2 \in V, \textbf{0}_1 \not = \textbf{0}_2，则有： {01+02=0101+02=02\begin{cases} \textbf{0}_1 + \textbf{0}_2 = \textbf{0}_1 \\ \textbf{0}_1 + \textbf{0}_2 = \textbf{0}_2 \end{cases}

于是 01=01+02=02\textbf{0}_1 = \textbf{0}_1 + \textbf{0}_2 = \textbf{0}_2，与假设矛盾，故可证线性空间 VV 存在唯一零元；

  1. 负元存在且唯一 同样，不妨假设 VV 中负元不唯一，则 ∃α∈V\exist \alpha \in V 存在不唯一负元，即 ∃β1,β2∈V,β1≠β2\exist \beta_1, \beta_2 \in V, \beta_1 \not = \beta_2，对 α\alpha 有： {α+β1=0α+β2=0⇒{α+β1+β2=β2α+β2+β1=β1⇒{α+β1+β2=β2α+β1+β2=β1⇒β1=β2\begin{cases} \alpha + \beta_1 = \textbf{0} \\ \alpha + \beta_2 = \textbf{0} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha + \beta_1 + \beta_2 = \beta_2 \\ \alpha + \beta_2 + \beta_1 = \beta_1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha + \beta_1 + \beta_2 = \beta_2 \\ \alpha + \beta_1 + \beta_2 = \beta_1 \end{cases} \Rightarrow \beta_1 = \beta_2

与假设矛盾，于是可证线性空间 VV 存在唯一负元；

  1. ∀α∈V,0⋅α=0\forall \alpha \in V, 0 \cdot \alpha = \textbf{0}，则 (−1)⋅α=−α(-1)\cdot \alpha = -\alpha 由 0⋅α=00 \cdot \alpha = \textbf{0} 有： 0⋅α=[1+(−1)]⋅α=1⋅α+(−1)⋅α=α+(−1)⋅α=00 \cdot \alpha = [1+(-1)]\cdot \alpha = 1\cdot \alpha + (-1)\cdot \alpha = \alpha + (-1)\cdot \alpha = \textbf{0}

于是，(−1)⋅α=−α(-1)\cdot \alpha = -\alpha；

TIP

根据数域定义，数域 FF 必须包含实数 1 ，而 1 就是该线性空间在数域 FF 上数乘运算的单位元，不取决于数乘运算如何定义.

  1. ∀k∈F,k⋅0=0\forall k \in F, k\cdot \textbf{0} = \textbf{0} k⋅0=k⋅(0+0)=k⋅0+k⋅0⇒k⋅0+(−k)⋅0=(k⋅0+k⋅0)+(−k)⋅0⇒0=k⋅0+[k⋅0+(−k)⋅0]⇒0=k⋅0\begin{align*} & k \cdot \textbf{0} = k \cdot (\textbf{0} + \textbf{0}) = k\cdot \textbf{0} + k\cdot \textbf{0} \\ & \Rightarrow k\cdot \textbf{0} + (-k)\cdot \textbf{0} = (k\cdot \textbf{0} + k\cdot \textbf{0}) + (-k)\cdot \textbf{0} \\ & \Rightarrow \textbf{0} = k\cdot \textbf{0} + [k\cdot \textbf{0} + (-k)\cdot \textbf{0}] \\ & \Rightarrow \textbf{0} = k\cdot \textbf{0} \end{align*}

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