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线性空间——线性表示、线性相关与线性无关

8 min read高等工程数学#矩阵分析#线性空间#线性表示#线性相关#线性无关

1.1.2 线性表示、线性相关与线性无关

基本概念

线性表示

IMPORTANT

  假设存在线性空间 VV，设 β∈V\beta \in V，若存在 VV 中一组向量 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}，及一组数 {k1,k2,...,kn∈F}\{k_1, k_2, ..., k_n \in F\}，使得：

β=k1α1+k2α2+...+knαn\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n

称向量 β\beta 能被向量组 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 线性表示或线性表出。或称 β\beta 可以表示为 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 的线性组合。

线性相关

IMPORTANT

  假设存在线性空间 VV，设 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 是线性空间 VV 中的一组向量，若存在一组不全为 0 的数 {k1,k2,...,kn∈F}\{k_1, k_2, ..., k_n \in F\}，使得：

k1α1+k2α2+...+knαn=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0

则称向量组 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 线性相关。 :::warning 希望不要忘记这里及下面的 0 都应该线性空间 VV 中的零元。 :::

NOTE
  1. 线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表出。

  假设 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 是一组线性相关的向量，根据线性相关定义，存在一组不全为 0 的数 {k1,k2,...,kn∈F}\{k_1, k_2, ..., k_n \in F\}，使得：

k1α1+k2α2+...+knαn=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0

不妨假设 kj∈{k1,k2,...,kn}≠0,j∈{1,2,...,n}k_j \in \{k_1, k_2, ..., k_n\} \not = 0, j \in \{1, 2, ..., n\}，则有：

−kjαj=k1α1+k2α2+...+kj−1αj−1+kj+1αj+1+...+knαnαj=k1−kjα1+k2−kjα2+...+kj−1−kjαj−1+kj+1−kjαj+1+...+kn−kjαn\begin{gather*} -k_j\alpha_j = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_{j-1}\alpha_{j-1} + k_{j+1}\alpha_{j+1} + ... + k_n\alpha_n \\ \alpha_j = \frac{k_1}{-k_j}\alpha_1 + \frac{k_2}{-k_j}\alpha_2 + ... + \frac{k_{j-1}}{-k_j}\alpha_{j-1} + \frac{k_{j+1}}{-k_j}\alpha_{j+1} + ... + \frac{k_n}{-k_j}\alpha_n \end{gather*}

根据线性表出的定义可知，存在至少一个向量 αj\alpha_j 可以被其他向量线性表出。

  1. 在线性相关的向量组中增加一个新的向量，扩充后的向量组仍然线性相关。

  假设 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 是一组线性相关的向量，根据线性相关定义，存在一组不全为 0 的数 {k1,k2,...,kn∈F}\{k_1, k_2, ..., k_n \in F\}，使得：

k1α1+k2α2+...+knαn=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0

现向向量组中增加一个新的向量 β\beta，令 kβ=0k_{\beta} = 0，于是有：

k1α1+k2α2+...+knαn+kββ=k1α1+k2α2+...+knαn+0⋅β=0\begin{align*} & k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n + k_{\beta}\beta \\ & = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n + 0\cdot \beta \\ & = 0 \end{align*}

由于 {k1,k2,...,kn}\{k_1, k_2, ..., k_n\} 不全为 0，故 {k1,k2,...,kn}∪{kβ}\{k_1, k_2, ..., k_n\} \cup \{k_{\beta}\} 不全为 0。根据线性相关定义可知，向量组 {α1,α2,...,αn}∪{β}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} \cup \{\beta\} 仍然线性相关。

线性无关

IMPORTANT

  若：

∑i=1nkiαi=k1α1+k2α2+...+knαn=0⇔ki=0(i∈{1,2,...,n})\begin{align*} \sum_{i = 1}^{n} k_i\alpha_i = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0 \\ \Leftrightarrow k_i = 0 (i \in \{1, 2, ..., n\}) \end{align*}

则称向量组 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 线性无关。

NOTE
  1. 线性无关的向量组中任何一个向量都不能被其他的向量线性表出。

  不妨用反证法来证明。对于线性无关的向量组 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}，假设 ∃αj∈{α1,α2,...,αn}\exist \alpha_j \in \{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}，使得 αj\alpha_j 可以被向量组 {α1,α2,...,αn}−{αj}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} - \{\alpha_j\} 中的向量线性表出，即：

αj=k1′α1+k2′α2+...+kj−1′αj−1+kj+1′αj+1+...+kn′αn\alpha_j = k^{'}_1\alpha_1 + k^{'}_2\alpha_2 + ... + k^{'}_{j-1}\alpha_{j-1} + k^{'}_{j+1}\alpha_{j+1} + ... + k^{'}_{n}\alpha_{n}

从而有：

k1′α1+k2′α2+...+kj−1′αj−1+1⋅αj+kj+1′αj+1+...+kn′αn=0k^{'}_1\alpha_1 + k^{'}_2\alpha_2 + ... + k^{'}_{j-1}\alpha_{j-1} + 1\cdot \alpha_j + k^{'}_{j+1}\alpha_{j+1} + ... + k^{'}_{n}\alpha_{n} = 0

而 k1′,k2′,...,kj−1′,1,kj+1′,...,kn′k^{'}_1, k^{'}_2, ..., k^{'}_{j-1}, 1, k^{'}_{j+1}, ..., k^{'}_n 显然不全为 0，于是根据线性相关定义，向量组 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 线性相关，与假设矛盾。

故线性无关的向量组中任何一个向量都不能被其他向量线性表示。

NOTE
  1. 从线性无关的向量组中去除任何一个向量，剩余的向量仍然线性无关。

  过于简单，不做证明。

基本性质

IMPORTANT
  1. {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 线性相关 ⇔\Leftrightarrow {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 中存在某个向量可以被其他向量线性表出。

  实际上 "⇒\Rightarrow" 已经证明过了，而对于 "⇐\Leftarrow" 只需要证明 ∑i=1nkiαi=0\sum_{i = 1}^{n} k_i\alpha_i = 0 时系数 kik_i 不全为 0 即可，而能够被其余向量线性表出的向量 αj\alpha_j 的系数 kj′k^{'}_j 当然不为 0。

IMPORTANT
  1. {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 线性无关 ⇔\Leftrightarrow {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 中任取一部分向量均是线性无关的。

  对于 "⇒\Rightarrow" 不难证明；而对于 "⇐\Leftarrow"，取 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 本身即可证明。

IMPORTANT
  1. {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 线性相关 ⇒\Rightarrow 任何真包含 {α1,α2,...,αn}\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\} 的向量组也是线性相关的。
CAUTION

注意这里不是 "⇔\Leftrightarrow"。

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