1.1.3 线性空间的基与维数

基与维数

IMPORTANT

设 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 是线性空间 $V$ 中的线性无关向量组，若任意 $\beta \in V$ 都可以被 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 线性表出，则，

1. 称 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 是 $V$ 的基；
2. 称 $V$ 的维数为 $n$，即 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 中向量数量。记作 $dim(V) = n$；
3. 称 $V$ 是一个 $n$ 维线性空间，通常记作 $V^n$；
4. $dim(\textbf{0}) = 0$.

TIP

线性空间 $V$ 的一组基就是该线性空间的一组极大线性无关组。上面的定义中实际上隐含了这个事实，$\forall \beta \in V$ 都可以被 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 线性表出，也就是说向该向量组中加入任意一个向量就会变得线性相关。

示例

下面给出一些具体例子。

NOTE

1. $V = (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}, +, \cdot)$

基：

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, ..., \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

维数：

$$dim(V) = n$$

NOTE

2. $(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}, +, \cdot)$

基：

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, ..., \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

维数：

$$dim(V) = n$$

复数的虚数部分可以由 $k \in \mathbb{C}$ 引入.

NOTE

3. $(\mathbb{C}^n, \mathbb{R}, +, \cdot)$

基：

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} i \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ i \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, ..., \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ i \end{bmatrix} \right\}$$

复数的虚数部分不能从 $k \in \mathbb{R}$ 中引入，只能从基中引入.

NOTE

4. $(\mathbb{R}^{n \times n}, \mathbb{R}, +, \cdot)$

基：

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}, \cdots, \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \right\}$$

维数：

$$dim(V) = n \times n$$

NOTE

5. $(P_n(t), \mathbb{R}, +, \cdot)$

   TIP

   其中，$P_n(t)$ 表示次数不超过 $n$ 的实系数多项式.

基：

$$\left\{ 1, t, t^2, ..., t^n \right\}$$

维数：

$$dim(V) = n+1$$

注意不要遗漏了常数项.

NOTE

6. $(V_i, \mathbb{R}, +, \cdot)$，其中，

$$\ V_1 = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & 0 \end{bmatrix} : a, b, c \in \mathbb{R} \right\}$$$$V_2 = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ -b & c \end{bmatrix} : a, b, c \in \mathbb{R} \right\}$$

• 对于 $V_1$： 基：

  $$\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\}$$

  维数：

  $$dim(V_1) = 3$$

• 对于 $V_2$： 基：

  $$\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}$$

  维数：

  $$dim(V_2) = 3$$

NOTE

7. $\mathscr{N}(A)$ 和 $\mathscr{R}(A)$ 其中 $A \in F^{m \times n}$

   TIP

   $\mathscr{N}(A), \mathscr{R}(A)$ 定义

• 对于 $\mathscr{N}(A) = \{x \in F^n | Ax=0\}$

根据零空间 $\mathscr{N}(A)$ 定义，$\mathscr{N}(A)$ 是矩阵方程 $Ax=0$ 的解空间，而该解空间的任意解向量能够由 $\mathscr{N}(A)$ 的一组基线性表示。因此，线性空间 $\mathscr{N}(A)$ 的一组基实际上就是该解空间的一组基础解系。

而该基础解系中向量的个数就等于零空间 $\mathscr{N}(A)$ 维数。对于基础解系而言，其向量个数等于矩阵方程中自由变量个数，于是有，

$$dim(\mathscr{N}(A)) = n-rank(A) = n-r$$

其中 $rank(A) = r$ 即为矩阵 $A$ 的秩。实际上这被称为秩-零化度定理：

$$dim(\mathscr{N}(A)) + rank(A) = n$$

那么如何求解矩阵方程 $Ax = 0$ 解空间 $\mathscr{N}(A)$ 的基础解系呢？

求解零空间或 $Ax=0$ 基础解系的一般步骤为： 1. 化矩阵 $A$ 为行最简型；2. 确定主变量与自由变量；3. 用自由变量表示主变量；4. 构造基础解系。

• 对于 $\mathscr{R}(A) = \{y=Ax | x \in F^n\}$

值空间 $\mathscr{R}(A)$ 也表示矩阵 $A \in F^{m\times n}$ 的列空间，即由矩阵 $A$ 的列向量张成的空间。于是，矩阵 $A$ 列向量的极大线性无关组也是值空间 $\mathscr{R}(A)$ 一组基。而值空间 $\mathscr{R}(A)$ 的维数是矩阵 $A$ 列向量的极大线性无关组的向量个数，实际上就是矩阵 $A$ 的秩 $rank(A) = r$，因此，

$$dim(\mathscr{R}(A)) = rank(A) = r$$

坐标

IMPORTANT

定理：设 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，则 $\forall \beta \in V$ 可以被 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 唯一地线性表示，也即：存在唯一确定的一组 $x_1, x_2, ..., x_n \in F$ ，使得

$$\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + ... + x_n\alpha_n$$

$x = [x_1, x_2, ..., x_n]^T$ 称为 $\beta$ 在基 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 下的坐标向量，简称坐标。

记 $A = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]$，则 $\beta = Ax$

IMPORTANT

任意 $n$ 维线性空间 $V^n$ 同构于 $F^n$，记作 $V^n \cong F^n$。

线性空间的同构

IMPORTANT

对数域 $F$ 上的两个线性空间 $V_1, V_2$，若存在一一映射 $\sigma: V_1 \rightarrow V_2$，满足：对 $\forall \alpha, \beta \in V_1$ 和 $\forall k, l \in F$，总有

$$\sigma(k\alpha + l\beta) = k\sigma(\alpha) + l\sigma(\beta)$$

则称，$V_1, V_2$ 同构，$\sigma$ 称为同构映射。

也即，同构映射可以与线性运算交换次序。

同构的性质

IMPORTANT

1. $\sigma(0) = 0, \sigma(-\alpha) = -\sigma(\alpha)$.

   CAUTION

   这里的 0 应该视为线性空间中的零元 $\mathbb{0}$.

证明如下：

$$\begin{align*} & \sigma(\alpha) + \sigma(0) = \sigma(\alpha + 0) = \sigma(\alpha) \\ & \Rightarrow -\sigma(\alpha) + \sigma(\alpha) + \sigma(0) = -\sigma(\alpha) + \sigma(\alpha) \\ & \Rightarrow 0 + \sigma(0) = 0 \\ & \Rightarrow \sigma(0) = 0 \end{align*}$$

2. $\sigma(\sum_{i = 1}^r k_i\alpha_i) = \sum_{i = 1}^r \sigma(\alpha_i), k_i \in F, i = 1, 2, ...,r.$

根据同构定义不难证明：

$$\begin{align*} & \sigma(\sum_{i = 1}^r k_i\alpha_i) = \sigma(\sum_{i = 1}^{r-1} k_i\alpha_i) + \sigma(k_r\alpha_r) \\ & = \sigma(\sum_{i = 1}^{r-2} k_i\alpha_i) + \sigma(k_{r-1}\alpha_{r-1}) + k_r \sigma(\alpha_r) \\ & \dots \\ & = \sigma(k_1\alpha_1) + k_2\sigma(\alpha_2) + ... + k_r\sigma(\alpha_r) \\ & = k_1\sigma(\alpha_1) + k_2\sigma(\alpha_2) + ... + k_r\sigma(\alpha_r) \\ & = \sum_{i = 1}^r k_i\alpha_i \end{align*}$$

3. $V_1$ 中的向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$ 线性相关，当且仅当 $\{\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), ..., \sigma(\alpha_r)\}$ 线性相关.

4. 同构的线性空间维数相同，基一一对应.

给定基求向量的坐标

IMPORTANT

例：取 $P_2(t)$ 的基：

$$A = \{t+1, t+2, t^2\}$$

求

$$p(t) = 2t^2 - t + 1$$

在 $A$ 下的坐标.

解：设

$$\begin{align*} x_1(t+1) + x_2(t+2) + x_3(t^2) = 2t^2-t+1 & \\ = x_3t^2 + (x_1 + x_2)t + (x_1 + 2x_2) \end{align*}$$

也即

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

记

$$M = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

求解这个矩阵方程 $Mx = b$，显然 $M$ 可逆，否则不存在唯一解，即在基下的坐标。于是

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = M^{-1}b$$

可解

$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$